Como se explica en ¿Es necesario un visado Schengen/visado de tránsito para un vuelo en tránsito por dos aeropuertos Schengen? no podrá permanecer en la zona internacional del aeropuerto. Como va a pasar por un control de pasaportes y a entrar en el espacio Schengen, un "visado de tránsito aeroportuario" (tipo A) no es suficiente y tiene que solicitar un visado Schengen normal y corriente. En el formulario marque "tránsito" como propósito de su viaje (y no "tránsito aeroportuario").
Lamentablemente, si el consulado alemán que cubre su zona no puede ofrecerle una cita o expedirle un visado a tiempo, no hay mucho que pueda hacer. Siempre puede intentar ponerse en contacto con alguien del consulado para ver si todavía hay alguna forma de concertar una cita, pero parece poco probable que hagan una excepción.
También puedes intentar ponerte en contacto con la aerolínea y esperar que te reembolse el billete, pero lo más probable es que no tengan que hacerlo (las condiciones de transporte suelen especificar que la obtención de todos los visados necesarios es responsabilidad del pasajero).
También puedes intentar cambiar tu conexión para que tenga una sola escala en el espacio Schengen (es decir, encontrar vuelos directos de Chicago a Fráncfort y de Fráncfort a Nueva Delhi o incluso a otro destino estadounidense o indio). Probablemente te costará más y tendrás que pagar algunas tasas de cambio además del precio del billete, pero quizá puedas salvar tu viaje y evitar perder todo el dinero que ya has pagado. Como seguirías volando con Lufthansa, puede que estén más dispuestos a complacerte.
Si sólo tiene una escala en un aeropuerto alemán y vuelos directos fuera del espacio Schengen, no necesitará ningún visado si tiene un visado estadounidense válido.
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Posible duplicado - ¿Visado Schengen para dos escalas en Alemania? , Relacionado - ¿Es necesario un visado Schengen/visado de tránsito para el vuelo en tránsito de Viena a Fráncfort?
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¿Desde qué ciudad solicita el visado? También, por favor, considere publicar sólo una pregunta en un post. Dividir las preguntas en diferentes posts.
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Aquí está el formulario con el número 21 - vfs-germany.co.in/NewDelhi_NorthIndia/Pdf/ como el Tránsito y no Tránsito en el aeropuerto.