Solicitar un nuevo visado Schengen siendo titular de uno válido

TLSContact se equivoca definitivamente, es perfectamente posible cancelar (técnicamente: "revocar") un visado, sin perjuicio, si el titular lo solicita (y también por una serie de otros motivos). Quizá no puedan hacerlo ellos mismos, pero el consulado sí. Una vez revocado su visado actual, podría seguir el procedimiento habitual, así que esa sería efectivamente una solución.

Pero el centro de visados de Grecia también se equivoca y el consulado francés tiene razón: es posible expedir un visado a partir del último día de validez de su visado actual y utilizar ambos visados juntos para un solo viaje (véase, por ejemplo Actualización del visado Schengen y Viajar con visados Schengen consecutivos ). Por lo tanto, en su caso, Grecia podría expedir un visado con validez a partir del 21 de septiembre sin hacer nada con su visado actual y esa sería otra solución.

Así que ambos consulados tienen una solución disponible, pero intentan deshacerse del problema y quieren que el otro consulado se ocupe de ello. Concretamente, tienes que convencer a uno de ellos para que ceda. Por ejemplo, puedes volver a dirigirte al consulado/centro de visados griego, esta vez con una copia impresa del dictamen del consulado francés para reforzar tu caso y demostrarles que no es fácil que te anulen el visado. Mantén la calma y sé educado pero firme, por escrito o en persona, según el caso.