¿Puedo llevar todo tipo de ropa militar excedente en Alemania?

Efectivamente, hay una ley que sugiere algo así, concretamente el § 132a StGB (que significa "párrafo 132a" en el código penal):

(1) Quien sin autorización [ ] lleve uniformes nacionales o extranjeros, trajes oficiales o insignias oficiales,

se hace con el Freiheitsstrafe hasta un año o con el Geldstrafe se ha hecho.

que podría traducirse como "La persona que sin autorización [ ] lleve uniformes locales o extranjeros, ropa oficial o signos oficiales será castigada con hasta un año de prisión o una multa". Esto suena como el tipo de normas de las que hablaba DJClayworth en los comentarios y es probablemente la fuente del rumor que has oído. Dicho esto, no soy abogado y no tengo ni idea de la intensidad con la que se aplica esto, ni de cómo lo han interpretado los tribunales, ni de lo que está precisamente prohibido o no.

En algunos foros de Internet (que, por supuesto, tampoco son especialmente fidedignos) se sugiere que no llevar el uniforme completo o asegurarse de que falte alguna parte del mismo, como los signos de regimiento o de rango, sería suficiente para no incurrir en la ley. Por lo tanto, yo no asumiría que el hecho de que el ejército esté vendiendo sus excedentes, si es que lo hace, significa necesariamente que es legal llevar un uniforme completo. También podría ser simplemente un texto comodín para dar cobertura legal a la policía cuando alguien lleva algún uniforme con intención de engañar, realmente no tengo ni idea.

Más información en Wikipedia

También hay un párrafo completamente diferente que prohíbe los carteles asociados a "organizaciones inconstitucionales", que incluye los símbolos asociados al partido nazi y, presumiblemente, muchos uniformes de la Segunda Guerra Mundial.

Este es cubierto aquí y también en inglés

No, no es ilegal, pero sigue siendo poco recomendable si no se aplica con mucho cuidado.

El máximo tribunal civil alemán, el Bundesgerichtshof, ha definido las normas del artículo 132a, en 15 de marzo de 2011 (4 StR 40/11):

Sin embargo, los elementos del delito previsto en el artículo 132a del Código Penal sólo se cumplen en ambas variantes de delito si el respectivo uniforme o distintivo de cargo es uno que se ha introducido en base a disposiciones de derecho público1. Por otra parte, las insignias oficiales sólo están cubiertas por la disposición penal si se adhieren a los uniformes de acuerdo con la normativa sin formar parte de la ropa oficial e identifican al portador como titular de un cargo específico.

La violación del §132a se cumple si el uniforme o los signos dados son definidos por las designaciones públicas. Otros signos sólo violan la ley si se utilizan en el uniforme correcto y designan al portador como titular de determinados derechos.

Pero es bueno recordarlo, por si acaso te encuentras con algún miembro de la policía demasiado ansioso. Creo que no tienes intención de llevar símbolos nazis, así que no entraré en detalles.

Pero aún así no es aconsejable porque el equipo militar en las ciudades (si no es lo suficientemente discreto) da una mala imagen porque se asocia demasiado con los nazis o los matones. Esto sólo se puede contrarrestar con señales antagónicas (por ejemplo, llevando un estilo gótico o punk, el pelo largo, etc.). Fuera de las ciudades se acepta más fácilmente, pero aún así puedes recibir miradas recelosas.

EDIT: Para demostrar lo que quiero decir con "exagerar", el más alto tribunal alemán tuvo que decidir con toda seriedad dos veces que las esvásticas tachadas como símbolo del antifascismo son NO símbolos prohibidos. Suspiro...

Las otras respuestas cubren la parte legal con bastante detalle. Siendo alemán, aquí hay algo de experiencia personal: Mientras no muestres ningún signo (bandera del país, insignia, cualquier otra afiliación) estás más o menos en el lado seguro, especialmente si el corte de la ropa no se parece a los uniformes actualmente en uso. Conozco a varias personas que utilizan viejas chaquetas de policía como ropa de motorista (con las letras eliminadas) y antiguos abrigos de estilo militar.

No es muy raro ver a gente con pantalones de camuflaje y no se asocia a que sea ropa nazi; también es bastante popular entre los punks y los izquierdistas (bueno, lo era, ya no se ven tan a menudo).