El artículo 21 del Código de fronteras Schengen especifica que
La supresión del control fronterizo en las fronteras interiores no afectará [...] b) a la posibilidad de que un Estado miembro establezca por ley la obligación de poseer o llevar consigo papeles y documentos [...]
Por lo tanto, en sentido estricto, debe comprobar con Italia y Grecia si exigen que alguien que entra en el país (a través de una frontera interior de Schengen), que tiene un permiso de residencia de un país de Schengen, lleve un pasaporte además del permiso de residencia.
Además, si alguno de los dos países exige que la gente lleve generalmente una identificación, debe comprobar si su tarjeta de estancia satisfará este requisito. Como ejemplo, parece que en el país de Schengen que más conozco, los Países Bajos, no lo haría .
He mirado muy brevemente la página web de la misión diplomática griega en Francia ( http://www.mfa.gr/france/fr/ ), y no he visto nada que indique una cosa u otra. La mayor parte de la información que encontré en internet estaba orientada a los viajeros que entran desde fuera del espacio Schengen.
En la práctica, probablemente sea suficiente con comprobarlo con la compañía de transbordadores. He consultado el sitio web de http://www.greekferries.gr No he encontrado nada, pero tienen una página en la que avisan de que es necesario un pasaporte o un documento de identidad para viajar con un billete electrónico. Su oficina de atención al cliente debería poder decirle si su tarjeta de estancia se aceptará como identificación.