Recomiendo encarecidamente este sitio web para buscar opciones de turismo en los Alpes: http://www.alpenvereinaktiv.com/en/tours/
El sitio web permite buscar desde excursiones de un día hasta viajes de varios días de cabaña en cabaña. En la página de cada excursión se indican los meses para los que se recomienda. Hay algunas recomendadas para mayo, como ésta: http://www.alpenvereinaktiv.com/en/tour/piz-bernina-4049m-ueber-biancograt/11637047/
Las descripciones suelen estar en alemán, así que Google Translate es tu amigo.
En cuanto a la época del año en que abren los refugios, el Alpenverein alemán lo indica en su sitio web: https://www.alpenverein.de/DAV-Services/Huettensuche/
También conviene consultar las páginas web de los refugios, ya que suelen indicar cuándo abren al año.
En general, recomendaría Austria a Suiza para un viaje alpino, ya que hay una mayor selección de opciones. El pasado agosto pasé 4 días de excursión en el Dachsteingebirge, a las afueras de Salzburgo, y fue impresionante. También me alojé en el Cabaña Simony y Cabaña Adamek y subir a la cima de Hoher Dachstein .