¿Es posible el reembolso de un cable de auriculares roto por el carro de servicio durante un vuelo?

Parece que no tienes mucho que reclamar.
Supuesto 1: Parece que el carro enganchó su cable colgante.
Supuesto 2: El personal de vuelo se dio cuenta del incidente.

Puedes consultar en la página web de la compañía dónde reclamar los daños, pero entonces sólo tendrán que aceptar tu palabra.
Por supuesto, deberías añadir todos los detalles del vuelo, pero dudo que vayan a localizar al personal de ese vuelo y preguntarles si recuerdan algo.
Así que depende totalmente de la compañía el atender o no tu reclamación; sólo tendrán en cuenta su reputación, la cuantía, el tiempo que quieran dedicar a esto y quizá el historial de vuelos que tengas con ellos.

Personalmente creo que no vale la pena hacer el esfuerzo. Los incidentes ocurren, nadie hizo nada "malo", es un caso de mala suerte. Consigue un nuevo cable lo antes posible y olvídalo.

Y más en general, ¿cómo debe reaccionar uno cuando su dispositivo es dañado por el personal de vuelo? :
Pregunte a ese mismo personal mientras está en el vuelo. Ellos sabrán cuál es la política de su empresa, a la que debes acudir, y se consolidará el incidente en su mente.

No puedo contar las veces que me he golpeado el codo o el pie con el carro de servicio. En todos los casos, el personal se dio cuenta inmediatamente y se disculpó. Sin embargo, la culpa es mía: no debería utilizar la isla como mi zona de descanso personal.

Sinceramente, me sorprende que no hayan hecho lo mismo en esta ocasión. Para que el cable se doblara en el gato, tendría que haber sido atrapado por el carro, y con una fuerza importante para que se doblara y dañara el gato (frente a que simplemente se saliera del enchufe, como ocurre muchas veces, o que simplemente la rueda pasara por encima del cable -también me ha ocurrido algunas veces-).

La tripulación del vuelo debería haber notado tal fuerza, y francamente, usted mismo. No es una fuerza insignificante.

Para obtener el reembolso (y supongo que de la aerolínea), tendrías que alegar algún tipo de negligencia o culpa por su parte.

Como usted nunca avisó a la tripulación del vuelo en el momento del incidente (para que quedara constancia del mismo) - o durante el resto del vuelo - la compañía aérea puede alegar que el objeto se dañó en otro lugar y que usted sólo está intentando que la compañía aérea lo pague; y usted no tiene ningún recurso en este caso.

El único procedimiento de reclamación que conozco en las compañías aéreas es para equipaje y no artículos electrónicos personales. Así que no estoy seguro de qué/cómo se podría empezar aquí.

Yo recomendaría:

1. Consultar el seguro de viaje o la garantía del artículo para ver si está cubierto.

2. Sólo tienes que comprar un nuevo cable.

3. Llama al centro de llamadas del servicio de atención al cliente de la aerolínea y explícales tu situación; aunque, de nuevo, no estoy seguro de que puedan ayudarte, ya que nunca informaste del incidente a la tripulación del vuelo.

En el futuro, si se encuentra con una situación en la que sus pertenencias personales han sido dañadas debido a la negligencia de la tripulación de vuelo - debe notificar inmediatamente la acción; y notificar al sobrecargo (el asistente de vuelo de mayor rango). Ellos sabrán el procedimiento y si hay que hacer algún trámite para reclamaciones/reembolsos.