Su mejor opción sería normalmente el Autobús de National Express que circula directamente entre Gatwick y Heathrow (Terminales 2/3, desde donde se puede conectar con las otras terminales si es necesario). A esa hora pasa cada 10-20 minutos y tarda algo más de una hora.
Su equipaje no será transferido: tendrá que recogerlo en Gatwick, llevarlo en el autobús y volver a facturarlo cuando llegue a Heathrow.
Sin embargo, 2 horas y 45 minutos no es mucho tiempo para ese traslado. Si se tiene en cuenta la llegada y salida del autobús, son al menos 90 minutos, y es probable que tenga que facturar su equipaje en LHR al menos una hora antes de su vuelo (dependiendo de la aerolínea). Eso te deja 15 minutos para bajar del avión, pasar por inmigración/aduana y recoger tu maleta.
Teniendo en cuenta esto, creo que su mejor opción será tomar un taxi. No será barato, pero realmente no tienes tiempo para ninguna otra opción. Incluso con un taxi va a estar apretado...
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He respondido a tu pregunta sobre el equipaje en tu pregunta original: travel.stackexchange.com/questions/67203/