Soy un ciudadano extracomunitario que trabaja como voluntario en Dinamarca, ¿puedo viajar por el espacio Schengen sin visado?

Sí, un permiso de residencia de un país Schengen le da implícitamente derecho a viajar por el resto del espacio Schengen, como si tuviera un visado de corta duración para entradas múltiples.

Tienes que cumplir la regla habitual de 90/180 días para los días que estés en un país Schengen que no sea Dinamarca, pero la aplicación de esta regla es principalmente por el sistema de honor, ya que tu pasaporte no será sellado cuando viajes entre países Schengen.