¿Cómo puedo encontrar hostales donde pueda guardar de forma segura mis documentos mientras salgo de la habitación?

Esta "función" se llama "taquilla de seguridad" o "caja fuerte en la habitación" (esta última suele estar disponible en hoteles adecuados, no en hostales). Puedes filtrar basándote en ese parámetro en Hostelworld, por ejemplo:

Normalmente, las taquillas se verán algo así:

Se dividen en varios tipos, variando en su nivel de seguridad:

1. Cajas fuertes en la habitación, una caja de metal empotrada en la pared, generalmente abierta con un pin-code. Estas son raras en hostales ya que son bastante voluminosas.
2. Taquillas con código PIN/tarjeta de seguridad. Ves el mismo tipo de taquillas en muchos resorts de spa y piscinas: la puerta se cierra y se abre con tu propia llave de habitación o un código PIN que estableces antes de cerrar la puerta.
3. Taquillas aseguradas con un candado colgante. Normalmente tienes que llevar tu propio candado o alquilar uno en el hostal.
4. Taquilla de "pregunta en recepción", donde guardas tus objetos de valor con la recepción del hostal. Suelen tener una sola caja fuerte para los objetos de valor de todos.
5. Y finalmente, la "jaula debajo de la cama", que es simplemente una caja de metal colocada debajo de la cama. Estas ofrecen la menor cantidad de seguridad ya que suelen estar mal aseguradas y su contenido es visible.

Recomendaría conseguir tu propio candado antes de visitar un hostal: rara vez cuestan más de unos pocos euros en cualquier tienda de candados. Esto te ahorrará muchos dolores de cabeza si te encuentras con un hostal donde se necesita un candado colgante.

La palabra que buscas probablemente es Locker.

Esto es bastante común en la mayoría de los albergues y es posible que no esté anunciado en algunos sitios de reserva. Cuando el sitio no menciona lockers en absoluto, debes utilizar o verificar con otro sitio de búsqueda o mirar en el sitio del albergue. O llama al albergue y verifica si ofrecen el servicio.
No puedo recordar el último albergue que no proporcionara una forma de asegurar objetos, pero también debo decir que no utilizo los albergues más baratos.

Básicamente, los lockers son armarios con cerraduras o un lugar seguro para utilizar tu propio candado. Cuando se utilizan candados, los albergues generalmente los alquilan, pero llevar el tuyo propio es fácil.

Los lockers pueden ser lo suficientemente grandes solo para una mochila de día, pero muchos son lo suficientemente grandes para que quepa una maleta de tamaño mediano o una mochila de tamaño mediano.

Además, muchos albergues aceptan objetos de valor entregados en la recepción.