Respuesta corta (con agradecimiento a los comentaristas):
Sí, puedes viajar con el visado existente, y no, no necesitas solicitar un nuevo visado. Sin embargo, tienes que estar seguro de que la visa de tu antiguo pasaporte no ha sido invalidada (posiblemente debido a un agujero en el completo pasaporte), y llévate tu antiguo pasaporte contigo. Esa pregunta está respondida aquí .
Más detalles para casos generales (no sólo en EE.UU.):
La mayoría de los países tienen sus visados listados digitalmente. Sin embargo, su nuevo pasaporte tendrá un número de pasaporte diferente, y su visa está vinculada a este número.
Nunca tuve que volver a solicitar un nuevo visado cuando actualicé mi pasaporte. Cuando solicité un nuevo pasaporte, pedí que me devolvieran el antiguo porque todavía tenía visados válidos. Por lo tanto, viajé con el nuevo y el viejo pasaporte: el viejo pasaporte fue invalidado, pero sus visas no.
Si el departamento que emite tu nuevo pasaporte hace un agujero en el completo pasaporte antiguo, también invalida sus visados. Asegúrate de que eso no suceda, y lo más probable es que no tengas ningún problema.
Sin embargo, siempre es bueno llamar a la embajada donde se emitió su visa, e informarles que su número de pasaporte ha cambiado.