Ya cubres las cosas sensatas que yo también haría, especialmente las críticas online y hacer una copia. ¿Quizás podrías tomar una fotografía de la persona a la que se la diste? Si desea ir más allá, tengo una posible sugerencia:

Hace poco compré una bicicleta y la llevé a dar una vuelta de prueba. Para ello, les di mi tarjeta de crédito y el permiso de conducir que pusieron en una caja con llave y me dieron la llave. Obviamente tendrían otra forma de abrirla si no volvía, pero al menos podría estar restringida al gerente en lugar de a cualquiera que trabaje allí.

Es poco probable que encuentres un mecanismo similar en Seúl, pero al menos te da la idea de que podría comprar algún tipo de caja o sello con cerradura o al menos a prueba de manipulaciones, mostrarles tu pasaporte, sellarlo en el contenedor y dárselo. Podrían romperlo si no regresas. Si regresas, podrás ver que no han manipulado o copiado tu pasaporte.

Los sellos a prueba de manipulaciones están disponibles a bajo precio en el Amazonas y podrías sellar cualquier caja de plástico vieja. Obviamente esto no evita que la roben.

¿De verdad tienes que dejar un pasaporte? ¿Sería suficiente una tarjeta de crédito?

En Estambul, para alquilar una audioguía en muchas atracciones públicas, a menudo quieren que dejes un pasaporte o un documento de identidad, o en su defecto una tarjeta de crédito, como garantía. Esto es para animarte a devolver el equipo de audio al final del tour. No he visto esto fuera de Estambul, pero me puso nervioso, igual que en Seúl estabas nervioso por la pérdida de tu pasaporte.

Así que, cada vez, dejé una tarjeta de lealtad totalmente inútil, el tipo de tarjeta que ni siquiera te molestarías en reemplazar si la perdieras. Era aceptada en todos los lugares a los que iba. (Era una tarjeta dorada Flying Blue, me decepcionó un poco que nadie la robara.)

No los uses. Es realmente así de simple.

Las únicas personas que necesitan ver su pasaporte son los de inmigración y control de fronteras, o las fuerzas del orden. (ETA: en algunas jurisdicciones, las fuerzas del orden exigen a empresas como hoteles o agencias de alquiler de automóviles que mantengan a mano una copia de los datos del pasaporte)

Si se le pide que presente su pasaporte para confirmar su identificación, eso es aceptable siempre y cuando no permita que le deje la mano, o si en un banco o similar, pasar por encima del mostrador en el entendimiento de que nunca se pierde de vista. Presentar su pasaporte como una especie de seguro comercial no es ético, y pone al titular del pasaporte en un riesgo considerable si se pone en contacto con la policía y no puede mostrar una identificación alternativa aceptable. (Por ejemplo, en lugares como el estado estadounidense de Arizona, con las controvertidas leyes de "mostrar los papeles" en vigor, la policía puede detener a dicha persona hasta que pueda presentar la documentación de inmigración o de viaje).

Incluso si la operación parece ser de confianza, eres un visitante, no lo sabes realmente. Las consecuencias de un pasaporte perdido o robado son billetes perdidos, y quedarse más tiempo del previsto. Esto último puede llevar a un estado de inmigración ilegal, lo que puede poner en riesgo futuros viajes o planes de inmigración. Aunque los riesgos de que esto ocurra son razonablemente bajos, los costos de tales consecuencias son demasiado grandes para pedir un servicio de tan bajo costo como el alquiler de bicicletas (¡cuando ya hay un costo de cobertura!) o el alquiler de audio-turismo autoguiado.

La protección a veces significa una evasión completa. A menudo (como han señalado otros) hay un medio alternativo de dejar un depósito; o podría haber un medio alternativo de adquirir el mismo nivel de servicio o uno similar (por ejemplo, comprar directamente una bicicleta usada y venderla).

Lo más sensato es hacer

llevar su negocio a otra parte.

Entiendo la necesidad de entregar el pasaporte.

No es necesario. Su pasaporte no le pertenece (pertenece a su gobierno), por lo que no es apropiado que nadie lo use como garantía de un préstamo o alquiler. Si una organización insiste en usar el pasaporte como algo más que un documento de identidad, debe llevar su negocio a otra parte.

Viví en Corea durante cuatro años y medio. Mientras estuve allí, ocasionalmente me encontré con lugares que me pedían el pasaporte, pero nunca lo llevé conmigo. Siempre aceptaron una tarjeta de identificación en su lugar.

En general, las normas en Corea no se aplican de manera muy estricta. La mayoría de las cosas son negociables. Si das una razón creíble de por qué no puedes proporcionar tu pasaporte ( no puede, no no quieren ), lo más probable es que puedas negociar de otra manera. (Y cualquier servicio dirigido a los extranjeros tendrá personal de habla inglesa. O, llame al 1332 (02-1332 desde un teléfono celular) para la traducción.) Una razón tan simple como "No tengo mi pasaporte conmigo" es probablemente suficiente.

Por cierto, de acuerdo con la ley coreana, los extranjeros deben llevar consigo en todo momento su pasaporte o tarjeta de registro de extranjeros y mostrarla a la policía cuando se le solicite. Sin embargo, nunca he oído que la policía pida ver un pasaporte o tarjeta de identificación; si no pareces coreano, la policía asumirá que no hablas coreano y generalmente no querrás hablar inglés, así que te dejarán en paz.

Edita

Si decide dejar su pasaporte como se le pide, es muy poco probable que haya un problema. En todo el tiempo que viví en Corea, nunca experimenté nada que me hiciera pensar que habría un riesgo significativo. El robo de identidad es bastante poco común. Una vez perdí mi billetera en el autobús y la policía la entregó en mi apartamento unas horas después. En mi opinión, es mucho menos probable que seas víctima de un delito en Corea que en la mayoría de las demás partes del mundo. Si fuera yo y tuviera mi pasaporte en mi tarjeta de registro de extranjeros, no dudaría en darles mi pasaporte.