La respuesta autorizada está en Camino a Rusia pero lo resumiré para la posteridad.
- Con quienquiera que te quedes, ya sea en un hotel o en un apartamento, se supone que se encarga de registrarte.
- Pueden ocuparse del registro en cualquier comisaría u oficina de correos, no es necesario que estés presente.
- Cuando esté hecho, le darán un papel que confirma el registro, y todo está bien.
Si no se registra, y te detiene la policía, y que han pasado más de siete días hábiles desde que llegó a Rusia, será multado (50-100 euros). En teoría, incluso puedes ser deportado y puesto en la lista negra por regresar durante 5 años, pero esto es muy poco probable.
En tu caso, me pondría en contacto con quien te alquile el apartamento y me aseguraría de que lo solucionen, la palabra mágica es propiska (registro). También les conviene hacerlo, ya que pueden ser multados aún más por tener extranjeros no registrados viviendo con ellos.