¿Viajar a los Estados Schengen o a Norteamérica con un documento de viaje para refugiados de Nueva Zelanda?

Podrá viajar a los demás Estados Schengen sin visado

No. Bueno, sí, pero no. Quiero decir... en la práctica, muchas / la mayoría de las veces cuando se cruza una frontera Schengen con coche/autobús/pie no pasa gran cosa, a veces ni siquiera un vuelo incurre en un control de pasaporte. Pero todo vale. Cruzas la frontera, cinco minutos después la policía está señalando el coche exigiendo el papeleo. Para mi sorpresa, un vuelo Budapest-Milán acabó con un control de pasaportes (unos días más tarde, uno Roma-Marsella no lo hizo, ni tampoco uno Basilea-Budapest unas semanas más tarde). Estas Navidades, al pasar de Hungría a Austria, hubo un control de pasaportes en la frontera, pero al pasar de Austria a Hungría a nadie le importó. Así que, para estar dentro de los límites legales y evitar grandes problemas, necesitas un visado.

o si no, ¿aceptan normalmente un RTD de NZ para solicitar un visado de visita (turista)?

Absolutamente. El documento de la Convención de 1951 equivale a un pasaporte en estos casos.