¿Cómo puedo demostrar mi historial de viajes si he perdido mi pasaporte?

Realmente no creo que sea posible y ni siquiera un pasaporte registra todos los movimientos entre cualquier país. Algunos países no utilizan sellos de salida, algunos no tienen sellos de entrada y algunos lo hacen en pedazos de papel que debes conservar mientras estés allí y devolver al salir.

Muchos países mantienen sus propios registros, pero esos son solo desde un punto de vista. Por ejemplo, en Ecuador podemos obtener nuestro Certificado Migratorio, que es una lista de todas las veces que una persona ha entrado y salido del país. Por lo tanto, saben cuándo salí y regresé, incluso a través de cambios de pasaporte, pero no saben de dónde a dónde. Dado que mi pasaporte es canadiense, casi todas las líneas en el informe dicen que llegué desde Canadá, aunque sí muestra el primer tránsito inmediato a otra nación de la Comunidad Andina, posiblemente por alguna información acordada. Por ejemplo, cuando viajé a Bolivia desde Ecuador vía Perú, mi registro dice que fui a Perú. Aparentemente, solo comparten la entrada y no la salida, ya que al regresar por la misma ruta dice que venía de Canadá.

Deberías contactar a las oficinas de inmigración de cada país que visitaste para crear un historial de viajes. Aun así, estoy seguro de que muchos países no mantienen registros, no los conservan por más de un cierto período y es posible que no tengan un sistema de almacenamiento electrónico hasta hace algunos años, por lo que no podrían recuperar tus registros rápidamente, suponiendo que aún existan.