¿Hay alguna manera de verificar si un residente ruso ha solicitado una visa para visitar los Estados Unidos después de enviar una carta de invitación?

Por desgracia, no. La única fuente de información disponible para usted es el solicitante de la visa:

Me gustaría saber si mi amigo se ha solicitado un visado y lo que es el estado. A quién debo contactar?

Su amigo, el solicitante de la visa. Bajo la ley de Estados Unidos, específicamente la Ley de Inmigración y Nacionalidad (INA) 222(f), visa registros son confidenciales. Por lo tanto, el solicitante de la visa debe preguntar en la Embajada o Consulado de EE.UU. en el extranjero donde él/ella se aplicaba a la información necesaria sobre el estado de solicitud de visa. Debido a la confidencialidad de la visa de registros, tendrás que preguntar a tu amigo, el solicitante de la visa a sus preguntas acerca de si una solicitud de visado, o una visa fue emitida o denegado.

Fuente: https://travel.state.gov/content/visas/en/general/frequently-asked-questions/about-visas-the-basics.html