Schengen 89 días en cada país, 1 pasaporte de la UE, el resto pasaportes de EE.UU.

1. Como uno de nosotros es ciudadano de la UE, ¿toda la familia no tiene que cumplir la norma Schengen de 90/180 días?

2. ¿Estoy en lo cierto al suponer que no tenemos que solicitar una tarjeta de residencia si nos quedamos sólo 89 días en España, luego cruzamos a Francia, y pasamos otros 89 días allí, luego Alemania durante 89 días, aunque nadie consigue un sello en el pasaporte que demuestre que fuimos a un país Schengen diferente?

Así es, véase por ejemplo Estancia más larga en la UE para una pareja de jubilados

3. Dado que pasamos menos de 6 meses en un solo país de la UE, ¿no somos residentes fiscales de ningún país de la UE y sólo pagamos impuestos sobre la renta en EE.UU.?

Podría ser más complicado que eso. Por ejemplo, si Francia es el país en el que permaneces más tiempo en un ejercicio fiscal determinado (sin ninguna referencia a un umbral específico como 6 meses), creo que técnicamente se te podría considerar residente a efectos fiscales. Pero sin domicilio fijo, propiedades ni ingresos, yo no me preocuparía demasiado.

4. En un momento dado, ¿se nos exigiría un seguro médico aprobado por la UE?

Si permanece menos de 90 días en un país determinado, no se le puede exigir que tenga seguro. Si permanece más de 90 días, el país puede hacerlo, pero dependerá de la legislación nacional. En la UE no hay ningún requisito ni seguro médico "aprobado por la UE" (aparte del requisito de seguro médico de viaje para los visados Schengen de corta duración, pero eso obviamente no se aplica a usted ni a su familia).

5. Educamos a nuestros hijos en casa, ¿tendría algún problema permanecer menos de 90 días en Alemania en lo que respecta a la escolarización obligatoria de los niños?

Ni idea. Alemania no es el único país con escolarización obligatoria.

6. ¿Tendría que presentar mi pasaporte polaco en lugar del estadounidense al volar a la UE o al alquilar apartamentos a través de Airbnb?

No creo que importe tanto como la gente piensa, pero presentarlo parece más conveniente. Hagas lo que hagas en la frontera, prepárate para establecer más adelante tanto tu nacionalidad como la relación con tu familia (esto podría significar llevar una copia de tu certificado de matrimonio).

Unos 5:

Alemania:
Aunque cada estado tiene su propia normativa, aparentemente en todos ellos sólo se aplica a las personas con el Wohnsitz (es decir, residencia permanente) allí. (Un ejemplo: http://www.landesrecht-bw.de/jportal/?quelle=jlink&query=SchulG+BW&psml=bsbawueprod.psml&max=true&aiz=true#jlr-SchulGBW1983V40P72 ).

Para hacer un Wohnsitz más claro: para tener eso, necesitas

• a Permiso de residencia lo que no tiene mucho sentido para tiempos inferiores a 3 meses. (o un Permiso de establecimiento o incluso la naturalización como ciudadano alemán, pero normalmente no están disponibles sin tener un Permiso de residencia )
• alquilar o comprar algo para vivir
• para registrarla como residencia permanente
• si se alquila (y no se compra), el registro requiere la cooperación del propietario. Los hoteles no lo hacen.

Tldr, con menos de 3 meses en Alemania, no necesitas hacer nada con las escuelas.

...

Como ha dicho Relaxed, otros países (entre ellos España y Francia) también tienen escolarización obligatoria; pero cabe esperar que las leyes pertinentes sean razonables en todos los países.