¿Cómo ingresar de Rusia a Abjasia?

En pocas palabras, no se puede. Rusia reconoce a Abjasia como un estado independiente, tienen controles fronterizos y aduanas entre los dos "países". Así que definitivamente recibirás un sello en tu pasaporte (solo no lo recibirías si tienes un permiso de residencia, tal vez).

El sitio oficial (en ruso) afirma que casi todos los países del mundo no apoyaron la independencia de Abjasia, por lo que necesitas una visa para ingresar (las excepciones son: Rusia, Nicaragua, Tuvalu, Osetia del Sur y Transnistria), por lo que probablemente también necesitarás una visa. Esta no se pegará en tu pasaporte, pero aún así tendrás que obtenerla.

Actualización: como comentó @martin.koeberl, es posible que recibas un sello en la visa, que no se pega en tu pasaporte, así que tal vez no tengas nada en él. Más información aquí.

Lo que escribió @VMAtm es correcto (excepto que "official site" no es official. El sitio oficial es http://abkhazia.travel/en/border (en inglés)). Pero la información es correcta: recibirás sellos de cruce de frontera en el lado ruso y necesitarás una visa para ingresar a Abjasia.

Para obtener la visa: escríbeles un correo electrónico, recibe un correo electrónico con la "Entry Permit Letter", imprímelo y muéstralo en la frontera abjasia, pero luego necesitarás ir a Sukhum para obtener la visa real (no inmediatamente, en cualquier momento antes de salir de Abjasia), sin la cual podrías tener problemas al salir. Y esta es la parte que más molesta, porque no hay mucho que ver en Sukhum, y la agencia que otorga las visas no trabaja los fines de semana, y se tarda 2 horas en llegar a Sukhum. Mientras que la mayoría de la gente solo quiere visitar por un día para ver las bellezas naturales, que están ubicadas mayormente cerca de la frontera rusa.