En primer lugar, el hecho de tener la ciudadanía o la nacionalidad belga y de poder obtener un pasaporte belga son cuestiones que dependen exclusivamente de la legislación belga. Estados Unidos no tiene nada que decir al respecto. Nada de lo que haga en EE.UU. o con respecto a EE.UU. puede tener efecto sobre su ciudadanía belga, salvo lo dispuesto por la legislación belga. La respuesta de @chx se refiere a si la adquisición de la nacionalidad estadounidense provoca la pérdida automática de la nacionalidad belga según la legislación belga o no.
Ahora bien, sobre lo que sí tiene voz Estados Unidos es sobre si tienes la ciudadanía estadounidense, por lo que quizá parte de tu pregunta sea si obtener un pasaporte belga afecta a tu ciudadanía estadounidense. Las únicas formas en las que puede afectar a su ciudadanía estadounidense son: 1) si la obtención de un pasaporte extranjero, o el ejercicio de los derechos de una nacionalidad extranjera, provoca la pérdida de la ciudadanía estadounidense, o 2) si el hecho de no renunciar a sus nacionalidades existentes antes o un cierto tiempo después de su naturalización estadounidense, o seguir ejerciendo los derechos de esas nacionalidades, hace que su naturalización sea fraudulenta, lo que significaría que nunca tuvo la ciudadanía estadounidense.
El número 1 no es cierto porque es inconstitucional que un ciudadano estadounidense debidamente naturalizado (es decir, no fraudulento) pierda la ciudadanía estadounidense en cualquier circunstancia, a menos que (se demuestre que) la persona tenga la intención de renunciar a la ciudadanía estadounidense. Hay ciertos actos de expatriación, pero siempre se requiere la intención de renunciar a la ciudadanía estadounidense para perderla.
El número 2 tampoco es cierto porque algo sólo puede hacer que su naturalización sea fraudulenta si viola un requisito de naturalización en el momento de la naturalización, pero el proceso de naturalización de EE.UU. nunca ha requerido que un solicitante haya tomado una acción para renunciar a sus nacionalidades existentes, o que prometa tomar una acción en el futuro para renunciar a esas nacionalidades. A veces la gente menciona el juramento, pero el juramento nunca menciona realmente la renuncia a la ciudadanía o a la nacionalidad; en su lugar, sólo dice renunciar a la "lealtad y fidelidad", que son sólo conceptos abstractos en la mente. (Obsérvese también que "renunciar" está en tiempo presente, lo que contradiría una afirmación de haber realizado alguna acción en el pasado, que estaría en tiempo pasado, o una promesa de realizar una acción en el futuro, que estaría en tiempo presente. Sólo la renuncia a algo abstracto en la mente, que no requiere ninguna acción, y se hace en el "presente" en el momento del juramento). Ninguna fuente oficial ha interpretado que el juramento signifique una afirmación de haber realizado alguna acción, o una promesa de realizar alguna acción, en relación con las nacionalidades existentes de la persona; por el contrario, muchas fuentes oficiales hablan de la posibilidad de seguir existiendo una nacionalidad múltiple después de la naturalización. Por lo tanto, el hecho de no renunciar a la nacionalidad belga no puede hacer que su naturalización sea fraudulenta.
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Nota para los votantes de cerca: esta es una simple pregunta sobre si un ciudadano (presumiblemente) con doble nacionalidad puede renovar un pasaporte caducado. No tiene nada que ver con el hecho de que el autor de la pregunta viva a largo o corto plazo en Bélgica, Estados Unidos u otro país. Esta pregunta está completamente relacionada con el tema.