Editar tras la respuesta de @Amin:
KLM no tiene ninguna obligación de dejarle embarcar con un pasaporte caducado.
Según su Condiciones generales de transporte (énfasis mío)
ARTÍCULO 9: DENEGACIÓN Y LIMITACIÓN DEL TRANSPORTE
El Transportista puede negarse a transportar a los Pasajeros y su Equipaje, si se ha producido o puede producirse uno o varios de los siguientes casos
[...]
(k) El El pasajero no parece estar en posesión de documentos de viaje válidos puede buscar o tiene intentar entrar ilegalmente en un país por el que pueda estar en tránsito, o por el que no no dispone de un documento de entrada válido, ha destruido los documentos de viaje durante el vuelo, se ha negado a permitir que el transportista haga y conserve copias de los mismos, o los documentos de viaje del pasajero tienen caducado son incompletos a la luz de la normativa vigente, o parecen fraudulentos o de otro tipo sospechosos (por ejemplo: usurpación de identidad, falsificación de documentos).
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18.2 Documentos de viaje
[...]
(b) El Transportista se reserva el derecho, de acuerdo con el artículo 9, de rechazar el transporte si un Pasajero no cumple con las leyes y reglamentos aplicables, si el Transportista tiene dudas sobre la validez de los documentos presentados, o el Pasajero no permite al Transportista tomar y conservar copias de cualquier documento o conservar de otro modo los datos contenidos en los documentos pertinentes.
Les envié un tweet y su respuesta fue rápida y clara:
Sólo aceptamos pasajeros que viajen con un documento de viaje válido. Un pasaporte caducado ya no es válido.
Para estar seguro, le sugiero que se ponga en contacto con la embajada más cercana y trate de obtener un nuevo pasaporte o un documento de viaje de emergencia.
Sin embargo, aparentemente puede te dejan subir a bordo a su discreción.