¿Puedo viajar sólo con mi documento de identidad de la República Checa desde Serbia a Budapest?

Sí, puedes viajar sólo con el DNI checo, ya que Hungría está en la Unión Europea y la República Checa tiene un acuerdo con Serbia. Fuente: http://www.mzv.cz/jnp/cz/cestujeme/aktualni_doporuceni_a_varovani/srbsko_cestovani_na_obcansky_prukaz.mobi

Los ciudadanos de la UE pueden entrar y salir Serbia en un documento nacional de identidad, tal y como se MAE de Serbia

Así que si su registro de extranjeros está en orden, estará bien.

Hungría está en la UE, por lo que tiene libertad de circulación allí y puede entrar con un documento de identidad

Tenemos dos respuestas afirmativas, ambas con razonamientos erróneos, proporcionando enlaces equivocados: el OP ya está en Serbia, el tipo de documentación necesaria para entrar en Serbia es irrelevante. El comentario de ytg es el ganador: como Hungría y Chequia forman parte del Tratado de Schengen y de la Unión Europea, puede utilizar su documento nacional de identidad para entrar y viajar dentro del espacio Schengen. Documentos de viaje para ciudadanos de la UE :

Necesita este apartado para entrar en la zona Schengen en la frontera entre Serbia y Hungría:

Si viaja desde o hacia un país no perteneciente al espacio Schengen, deberá presentar un documento de identidad o pasaporte válido.

Y éste para ir de Hungría a Chequia (posiblemente cruzando Eslovaquia, otro miembro del tratado de Schengen):

Si es usted ciudadano de la UE, no necesita mostrar su documento nacional de identidad ni su pasaporte cuando viaje de un país de la UE sin fronteras a otro.