Cuando te registres para volar a Rusia, tendrás que mostrar tu pasaporte ruso a la aerolínea, para que sepan que puedes entrar en Rusia. Puede que también quieran ver tu tarjeta verde en este momento.
En EE.UU. no hay oficiales de inmigración que inspeccionen rutinariamente los documentos de los viajeros que parten, pero puede haber controles puntuales. La TSA revisa su identificación cuando entra en el área segura del aeropuerto, para asegurarse de que pertenece a la tarjeta de embarque que les está mostrando, pero no se preocupan por su estado de inmigración. Incluso puedes usar una licencia de conducir de EE.UU. en ese momento.
Cuando entre en Rusia, tendrá que mostrar su pasaporte ruso a inmigración. Normalmente no se preocuparían por su tarjeta verde, pero si lo piden, puede mostrársela.
Cuando te registres para el vuelo a los EE.UU., tendrás que mostrar tu tarjeta verde. La aerolínea también querrá ver su pasaporte ruso en ese momento; no sé si la ley rusa les obliga a comprobarlo.
Cuando pase por los controles de salida rusos, tendrá que mostrar su pasaporte ruso. Si le preguntan por su permiso para entrar en los EE.UU., muestre su tarjeta verde. Ningún país del que he salido ha preguntado por el permiso para entrar en el país de destino, pero algunos países aparentemente lo hacen, al menos en algunas circunstancias.
Cuando llegues a los EE.UU., tendrás que mostrar tu tarjeta verde al oficial de inmigración de los EE.UU. Normalmente también mirarán tu pasaporte, ya que lo tienes, pero como residente permanente que regresa, no es necesario que lo tengas. Probablemente lo más sencillo es presentarlos a ambos cuando llegues al mostrador.