Ciudadano extracomunitario en España con un visado Schengen de turismo italiano en vigor y que solicita un doctorado en España, ¿qué debo hacer?

No se ve bien.

Yo intentaría preguntar en la oficina de extranjería (o, si no existe ninguna donde estás, en la comisaría de policía local) si pueden prorrogar tu estancia con un permiso de residencia temporal, pero normalmente se supone que los visados Schengen de corta duración sólo se prorrogan en caso de emergencia, así que probablemente no puedan.

Puede que tengan otra solución, pero tampoco le daría una alta probabilidad.

También puedes intentar ir a otro país, más cercano que tu país de origen, y solicitar allí un visado español; el país al que deberías ir dependería de tu nacionalidad y de si ya tienes algún otro visado. Desgraciadamente, tampoco es probable que esto tenga éxito, debido a las normas que exigen que las personas soliciten el visado en su lugar de residencia. Es posible que se hagan excepciones cuando surja un motivo para viajar después de haber salido de casa, y esto parece ciertamente calificar, pero en la práctica parece ser difícil conseguir que los consulados reconozcan esta posibilidad. Probablemente sea aún más difícil conseguir que los tramitadores de terceros, cada vez más utilizados, la reconozcan.

Tu mejor opción es probablemente hablar con la universidad, explicar tu situación de visado y ver si pueden permitirte matricularte mientras estás fuera de España o en otro momento.

La situación que describes debería permitir solicitar un visado español estando en Italia. Por lo general, la gente debe solicitarlo desde su lugar de residencia, pero las normas permiten excepciones cuando los planes cambian con poca antelación.

No sé si la embajada española aceptará que el tuyo es un caso de dificultad, y si tramitarán la solicitud con la suficiente rapidez.