En efecto, si usted "reside permanentemente fuera de la Federación Rusa" está exento del registro militar (" "), por lo tanto, a fortiori, del servicio militar. Aquí está el enlace a la ley: https://ru.wikisource.org/wiki/%D0%A4%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%B7%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%BE%D1%82_28.03.1998_%E2%84%96_53-%D0%A4%D0%97/%D0%A0%D0%B0%D0%B7%D0%B4%D0%B5%D0%BB_II#%D0%A1%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D1%8F_8 (véase la última línea del encabezamiento del apartado 1, justo antes del apartado 1.1)
Concretamente, para beneficiarse de esto, tiene que cancelar su registro (" ") en su dirección rusa (si todavía tiene una), y luego registrarse en el consulado (" "). (Tal vez el registro en el consulado anule automáticamente tu registro en Rusia, pero si no recuerdo mal, no es así: primero tienes que darte de baja de Rusia y luego registrarte en el extranjero, en ese orden).
Si he entendido bien, para que te envíen una invitación (""), tienes que registrarte primero en el comisariado militar. Si no lo has hecho, ni siquiera saben que existes. Por supuesto, no le recogerán en el aeropuerto. El único riesgo que corres es que te pillen en una redada de reclutamiento llevada a cabo por la policía, por ejemplo, en el metro. He oído hablar de ellas, pero nunca he visto ninguna (y he pasado un año en total en Moscú). Y, en cualquier caso, no creo que se produzcan nunca fuera del periodo de reclutamiento (según la respuesta de @undercat).
Y si alguna vez se ve envuelto en una redada de este tipo, sepa que la ley le concede mucha más protección de la que la policía le hace creer. Investiga y niégate a cooperar con cualquier petición ilegal de la policía. (Por ejemplo: no pueden llevarte directamente a la comisaría militar, sino a la comisaría de policía).
Fuente: Estuve en una situación similar con un problema parecido, así que hice mi investigación en ese momento.
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Voto por cerrar esta pregunta como off-topic porque se trata de leyes y no de viajes.
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Siempre se mantienen las dos ciudadanías. No son como la ropa que te pones cuando te conviene. Ésas son las ventajas y los inconvenientes.
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En general, no tienes derecho a asistencia consular en un país del que tienes la nacionalidad, cuando te metes en problemas, por ejemplo, si te detienen, no tienes derecho a ver a un funcionario consular según la Convención de Viena (porque no eres "extranjero").