No existe un "visado de negocios" específico para Schengen, sino un visado uniforme de corta duración que puedes conseguir si presentas una historia coherente sobre por qué quieres visitar la zona y por qué querrías volver a casa después. Asistir a un concurso es una de esas historias que se pueden contar (y marcar la opción "negocios" cuando el formulario pide el propósito general de su visita es probablemente la opción correcta).
Dado que la competencia es claramente su objetivo principal para ir a Europa, deberías aplicar a Portugal para su visado. Sin embargo, es común y está totalmente permitido combinar un propósito de negocios con un poco de turismo, especialmente cuando ya estás viajando por medio mundo. Deberá proporcionar todos los detalles de la todo el viaje que piensa hacer en la solicitud de visado al consulado portugués.
Si tus gastos son cubiertos en parte por tu anfitrión en Portugal y en parte por ti mismo, simplemente indícalo con sinceridad. Si el formulario de solicitud no te permite explicar la verdad de forma clara (ten en cuenta que normalmente puedes marcar más de una opción para la mayoría de las preguntas cuando se presentan varias solicitudes), responde a sus preguntas lo mejor que puedas y cuenta toda la historia en un campo de formato libre o en un anexo separado con la solicitud.
