¿Necesito informar a inmigración/frontera sobre mi extensión para la visa de turista B1/B2 si mi extensión será inferior a 6 meses?

Si te admitieron por seis meses, puedes quedarte por un máximo de seis meses. No necesitas informar a nadie. Incluso si quieres hacerlo, te costará encontrar a alguien que acepte esa información.

Puedes verificar tu período de admisión en https://i94.cbp.dhs.gov.

Sin embargo, dado tu previo rechazo de visa, debes tener cuidado. Es posible que tu cambio de planes pueda ser tomado como un engaño diseñado para ayudar a que tu segunda solicitud de visa tenga éxito. No he escuchado que esto ocurra mucho en los Estados Unidos, pero es común en el Reino Unido. Dada la actual situación política en Estados Unidos, podría ser una buena idea ser cauteloso.

Si puedes mostrar una razón creíble para tu cambio de planes, probablemente no tengas que preocuparte por esto, pero si simplemente decidiste quedarte más tiempo así de repente, podría ser más seguro salir de Estados Unidos y regresar.