¿Cómo puedo localizar a una persona desaparecida en el extranjero?

Si dicha persona viaja en transporte público o en un buen coche de alquiler, no me preocuparía si no hay contacto durante un par de días. Sólo si la persona va a pie o en bicicleta y no se ha presentado a la hora que prometió hacerlo, intentaría buscarla. Y en ese caso empezaría por llamar a sus familiares para preguntar si han estado en contacto.

Iniciar una búsqueda internacional a través de un gobierno extranjero (al país donde la persona podría estar desaparecida) está muy fuera de balance para alguien que simplemente no ha contactado con un amigo a través de internet.

Me ha pasado a mí, y a otros que conozco, perder el teléfono o que te lo roben, cruzar una frontera y encontrarte con que tu teléfono no funciona por la razón que sea en el nuevo país. Estar tan ocupado con la vida de turista que te olvidas de conectarte con tus grupos habituales, etc.

Es posible que no le digan si ha utilizado los hoteles o el transporte que debía utilizar. Pero si llamas al hotel en el que se supone que va a estar "esta noche" o "mañana por la noche" y les pides que le pasen un mensaje para que se ponga en contacto con alguien concreto, debería funcionar.

En el pasado era normal viajar durante meses y sólo enviar tarjetas postales a casa y nadie se preocupaba si una tarjeta llegaba con uno o dos días de retraso. Ahora estamos conectados casi 24/7 y empezamos a preocuparnos en cuanto se rompe el contacto.
En algún punto intermedio se encuentra el nivel adecuado de preocupación. En mi caso, era llamar a casa cada dos o tres días, para estar al día de las noticias de ambos lados. Y no era raro advertir que la siguiente llamada podría ser tardía si te dirigías a lo desconocido.

Sólo si hay una buena razón para encontrar a la persona, como un pariente cercano gravemente enfermo al que deberían ver antes de fallecer, me parece correcto iniciar una gran búsqueda. Y entonces primero en el lugar donde se supone que están, (y que no estén en el hotel que esperas que estén).
La policía local de ese lugar podría ser la más eficiente.

Si somos capaces de obtener sus detalles de reserva, ¿las aerolíneas, los trenes, hoteles, etc. confirmarán si ha embarcado o facturado?

No es fácil. Normalmente, las aerolíneas y los hoteles no dan este tipo de información para proteger la privacidad. Sin embargo, siempre puedes llamar e intentarlo: los hoteles más pequeños o los bed & breakfast suelen ser menos estrictos con esto.

Algunas compañías aéreas y agencias de viajes permiten al viajero registrar un contacto de emergencia. Pueden estar dispuestos a revelar información básica (vuelo tomado o no, habitación facturada o no) a la persona registrada.

Si no, tendrías que pasar por las autoridades según la respuesta de Ozzy.

¿Confirmarán las compañías aéreas, los trenes, los hoteles, etc., si ha embarcado o facturado?

Aerolíneas y trenes, probablemente no. A no ser que tengas el PNR, y entonces probablemente puedas entrar en la sección "gestionar por reserva" de los sitios correspondientes, lo que puede darte algo de información (esto sería normalmente una invasión de la privacidad, pero si tienes el PNR significa que confían en ti).

En el caso de los hoteles, basta con llamar al hotel y pedir hablar con la persona. Si se ha registrado, le pasarán la llamada a su habitación. Si no, seguramente te dirán que no lo han hecho.

En el peor de los casos, puedes pedir que te dejen un mensaje (solicitando que te devuelvan la llamada, por ejemplo) y te lo pasarán.