Lo has entendido mal. La falta de una zona de tránsito internacional no era su problema. Incluso si hubiera habido una zona de tránsito internacional, no habrías podido permanecer en ella.

Su problema era que tenía un vuelo de Milán a Roma. Ese es un vuelo nacional, y debe entrar en el espacio Schengen para embarcar. No sales del espacio Schengen hasta que llegas a Roma, donde tienes que pasar los controles de salida antes de poder embarcar en tu vuelo desde allí a Seúl. (Entrar en el espacio Schengen, para estar seguros, significa salir de la zona internacional).

Lo mismo ocurre con cualquier vuelo intra-Schengen ya sea nacional o no. Por ejemplo, un itinerario de Londres a Fráncfort a Viena a Seúl sería esencialmente el mismo debido al vuelo de Fráncfort a Viena.

No hay forma, independientemente de las instalaciones aeroportuarias, de pasar de un vuelo internacional a un vuelo intra-Schengen sin pasar por el control de pasaportes.

Ha comprobado si necesita un visado de tránsito aeroportuario (VTA), y no lo necesita. Pero un VTA no es suficiente para el itinerario que ha reservado. Suponga que es usted de Afganistán o de cualquier otro país cuyos ciudadanos necesitan un VTA, y que hizo tener un quad: habría ocurrido lo mismo, porque un quad no te autoriza a pasar el control de pasaportes. Para seguir este itinerario, se necesita un regular Visado Schengen o un pasaporte que le permita entrar en el espacio Schengen sin visado.

Según me parece, no había (prácticamente) ninguna forma de averiguar que necesitaría un visado de visitante Schengen (cuando ni siquiera necesitaba el visado de tránsito) sólo para cambiar de vuelo en Milán

Su investigación, muy lamentablemente, le llevó a una conclusión incorrecta. Parte de la razón es la fuente, que no es oficial. Lamentablemente, tampoco he podido encontrar (rápidamente) una fuente oficial que sea mucho más clara sobre el visado de tránsito aeroportuario. Si vas a el sitio de la UE Por ejemplo, tiene que saber que "el tránsito por las zonas internacionales de tránsito de los aeropuertos de los Estados Schengen" no es suficiente para su itinerario. Probablemente haya un sitio oficial en alguna parte que diga explícitamente que ese visado no es suficiente cuando hay un vuelo intra-Schengen, pero no es inmediatamente obvio. También he mirado en la página de la embajada italiana en Londres, y tampoco me ha servido de mucho.

¿Hay alguna posibilidad de recuperar mi dinero o hacer que la agencia organice un nuevo vuelo a Seúl en una fecha posterior a su cargo? ¿O es responsabilidad de la aerolínea ya que no me han rechazado en la facturación?

Desgraciadamente, las compañías aéreas son muy buenas a la hora de eximir de esta responsabilidad. Y a los gobiernos también se les da muy bien eximir de responsabilidad por los fallos en sus materiales de información pública. Dudo que puedas recuperar algo, por muy injusto que sea.

Algunos sitios de comprobación de visados en línea le permiten introducir más de un tramo de su vuelo a la vez. Un ejemplo es https://www.traveldoc.aero/ . Si hubiera utilizado este sitio, habría visto que necesitaba un visado para Italia.

Como se señala en los comentarios, incluso traveldoc sugiere que un visado de tránsito aeroportuario sería suficiente para el itinerario, lo cual es incorrecto. Otro comentarista sugiere recurrir a una pregunta en este sitio: ¿Necesito un visado para transitar (o hacer escala) en el espacio Schengen? De hecho, no he encontrado ninguna fuente oficial del gobierno o de la industria aérea que lo diga claramente:

1. ¿Vuela dentro del espacio Schengen?

Si su próximo destino está en el espacio Schengen, deberá pasar por el control de pasaportes para llegar a ese vuelo, por lo que necesitará un visado Schengen normal, a menos que pueda optar a la entrada sin visado.

La causa de su problema es que su ruta incluía un vuelo interno Schengen. Esto no tiene nada que ver con que haya (o no) una zona de tránsito en Linate. Es por tu vuelo de Milán a Roma por lo que necesitabas un visado, no por cambiar de avión en Milán.

Los aeropuertos del espacio Schengen se dividen en dos zonas. Schengen y no Schengen. Un vuelo de Londres a Linate llegará a la zona no Schengen, los vuelos a Roma saldrán de la zona Schengen. Para pasar entre esas zonas hay que pasar un control de inmigración, y es ahí donde le paran.

Si su traslado hubiera sido entre dos vuelos internacionales, tal vez no se hubiera encontrado con este problema.

El tránsito suele ser si no se entra en un país, para pasar a otro. En el caso de los vuelos internacionales. Volar entre dos ciudades de Italia sería un vuelo nacional, y tendrías que estar autorizado a entrar en el país (es decir, tener un visado adecuado). Como en el caso de Almaty a Astana, todo el mundo en el vuelo está legalmente autorizado a estar en el país, porque en Astana (o en este caso en Roma) estás en una terminal doméstica y puedes bajar del avión y entrar en la ciudad (y en el país).

Me parece que la aerolínea debe comprobarlo también, ya que pueden ser multados, pero sospecho que en última instancia van a decir que es responsabilidad del pasajero.

Aunque es horrible que te hayan tratado así :/ Aunque "apenas hablaba inglés" no es su culpa en Italia . :/

No veo ninguna posibilidad de reembolso. Es responsabilidad del pasajero tener todos los visados necesarios para un viaje y sí necesitas un visado Schengen para el tramo Milán-Roma, que es un vuelo nacional, y por tanto, habrías entrado en la zona Schengen.

Habla con un abogado o con la Oficina de Atención al Ciudadano. Quizá puedas demandarles por venderte un producto defectuoso y negarte a devolverte el dinero.

El Ley de Derechos del Consumidor (2015) exige que todos los bienes vendidos en el Reino Unido sean de calidad satisfactoria, aptos para el uso particular del consumidor y tal como los describe el vendedor, y ordena además que, si no lo son, el consumidor debe disponer de un plazo mínimo de 30 días para rechazar los bienes y solicitar su reembolso o sustitución.

Dado que los productos que le vendieron no eran aptos para su uso, y que cuando usted pidió el reembolso no se lo dieron, parece que están infringiendo la ley. Por lo tanto, hablar con un abogado sobre los recursos parece ser una medida prudente. El Oficina de Atención al Ciudadano ofrece asesoramiento jurídico gratuito en materia de derechos de los consumidores, pero es posible que desee pagar un abogado en su lugar.