Como se indica en el sitio web oficial de la Polizia di Stato :
Los extranjeros que esperan la renovación de su permiso de residencia pueden salir y volver a entrar en Italia si lo tienen:
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El recibo emitido por las oficinas de Correos de Italia (Poste Italiane S.p.A) que certifica la presentación de la solicitud de renovación de su permiso de residencia o del permiso de residencia CE para residentes de larga duración;
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El permiso de residencia caducado;
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Su pasaporte u otro documento de viaje equivalente;
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no visitan ningún otro Estado Schengen.
Por lo tanto, es posible salir del país y volver a entrar con su recibo de renovación, siempre que siga las normas indicadas anteriormente, pero lamentablemente no puede ir a Budapest, ya que Hungría es un país Schengen.
Además, si no has solicitado la renovación pero tu permiso de residencia ha caducado hace menos de 60 días, puedes entrar en Italia siempre que estés en posesión de un Visto de Reingresso que se expide únicamente en presencia de una comisaría de policía autorizada.