¿Permite Emirates cambios de fecha por cualquier motivo?

Si reserva la primera versión, más barata, tiene dos billetes independientes, y es su problema para hacer la conexión. Si su vuelo de llegada se retrasa -por la razón que sea-, perderá el segundo billete y se quedará tirado (y tendrá que comprar uno nuevo, normalmente sin reembolsos).
Normalmente, Emirates (y la mayoría de los demás) no ofrecen fácilmente este tipo de reservas por separado, para evitar el enfado de los clientes que no entienden lo que hacen, y porque prefieren vender el billete de mayor precio.

Además, reservar billetes separados significa que su equipaje no no pasar el control: tiene que salir de la zona de seguridad, recoger su equipaje y volver a facturar. Esto lleva mucho tiempo y puede requerir un visado, una prueba de COVID y otras cosas, ya que estás entrada en el país - no importa que tengas pensado volver a irte enseguida. Considérelo como usted está inmigrando en ese país - durante media hora.
Viendo sus tiempos, seguro que NO poder conectar en PTY en el corto plazo si tienes billetes separados - tienes que tomar un vuelo posterior para el último tramo.

Dicho esto, si estás seguro de que puedes arreglártelas/evitar el problema del visado, y tienes suficiente tiempo entre los vuelos, puedes ahorrarte el dinero y reservar dos billetes. Puede ser un buen plan dejar un día entre los dos vuelos, o estar preparado para comprar un segundo billete para la conexión (todavía más barato...).
He hecho este tipo de divisiones a menudo, y siempre ha funcionado, pero a veces se realmente apretado; no es para los débiles de corazón. Aun así, se ahorra mucho.

Cambios de vuelo: depende de la clase de billete. Probablemente no sea gratuito, pero son conjeturas sin ver los detalles.