¿Comparten los gobiernos del Reino Unido y de Estados Unidos los datos sobre inmigración?

Sí, comparten información. La referencia de control para esto es un tratado entre los Estados Unidos y el Reino Unido que se redactó en 2013 y entró en vigor el año pasado (2014) que dice en parte...

CONSIDERANDO que la administración y aplicación efectiva de las leyes de inmigración y nacionalidad de los Estados Unidos de América y del Reino Unido son importantes para proteger la salud y la seguridad de sus poblaciones, para mantener la seguridad de sus sociedades y para la seguridad de sus sociedades y para promover la justicia y la seguridad internacionales a sus territorios a las personas que son delincuentes o suponen un riesgo para la seguridad;

RECONOCIENDO que la identificación de los individuos que son inadmisibles en virtud de sus respectivas leyes de inmigración mejora su capacidad para facilitar el viaje de los visitantes de buena fe;

Fuente: Acuerdo entre el Gobierno del Reino Unido de Gran Bretaña e Irlanda del Norte y el Gobierno de los Estados Unidos de América para compartir información sobre visados, inmigración y nacionalidad

Así que la respuesta es sí, los dos gobiernos comparten información, no sólo por este tratado (y otros similares), sino también por los términos implícitos en el " Relación especial ".

Los datos compartidos incluyen la biometría.

Pregunta similar, pero formulada como "visado a la llegada" en lugar de "solicitud de visado": Ligeramente ilícito: delincuente que viaja con pasaporte estadounidense; ¿se me denegará la entrada al Reino Unido?

Basándose en todo esto, es natural concluir que una historia peyorativa en uno de los signatarios afectará a las decisiones de visado en el otro signatario. Esto no significa que las solicitudes de visado se denieguen automáticamente, el responsable de la toma de decisiones en cada país decidirá basándose en toda la información disponible y, a veces, ésta puede ser favorable para el solicitante; pero la mayoría de las veces no lo sería.

Si por compartir se entiende que el Reino Unido entrega todos los datos a Estados Unidos y que el Reino Unido obtiene algunos datos a petición, entonces sí comparten.