¿Es posible ingresar a Estados Unidos con ESTA y luego convertirse en ciudadano estadounidense después de obtener un pasaporte?

Si espero hasta 5 días antes de mi vuelo, ¿qué tan probable es que pueda obtener una cita y recibir mi pasaporte de emergencia en esos 5 días?

Muy probable. La embajada no impondría esta restricción si significara que un número sustancial de ciudadanos no pudieran cumplir con su necesidad de un pasaporte de emergencia.

¿Sería posible solicitar un ESTA y entrar en Estados Unidos con mi pasaporte irlandés, luego renovar mi pasaporte estadounidense cuando llegue para después ser empleado como nacional estadounidense y salir del país con mi pasaporte estadounidense?

Ciertamente puedes solicitarlo. Tu solicitud puede ser rechazada. Incluso si no es rechazada, la aerolínea puede notar que eres ciudadano estadounidense y negarte el embarque. Si estás volando a través de un aeropuerto de preclearance (desde Irlanda o Canadá a los Estados Unidos, por ejemplo), el inspector de inmigración de EE. UU. puede impedirte abordar el avión. En resumen, hay una buena posibilidad de que esto no funcione.

Si puedes entrar en los EE. UU. con tu pasaporte irlandés, eso no cambiará tu empleabilidad. Aun así, seguirías siendo ciudadano estadounidense y, por lo tanto, autorizado para trabajar incluso si no tienes un pasaporte estadounidense (aunque tendrás que cumplir con los requisitos del formulario I-9, y la forma más sencilla de hacerlo probablemente sea con el pasaporte estadounidense).

No puedo solicitar ninguna visa de trabajo, ya que la empresa dejó claro que solo me contratarían como ciudadano estadounidense y no pueden ayudar con las solicitudes de visa.

De todos modos, EE. UU. (como todos los países que conozco) no otorga visas a sus propios ciudadanos, por lo que nunca obtendrías una visa de trabajo. Esto plantea otro punto: si logras abordar el avión con tu pasaporte irlandés y el ESTA asociado, aún debes presentarte en la frontera como ciudadano estadounidense que no tiene pasaporte. Puede que te llamen la atención, tal vez, y luego te admitirán como ciudadano estadounidense.

Pero nuevamente, incluso si de alguna manera ingresas en el programa de exención de visa, sin mencionar tu ciudadanía estadounidense, con un sello en tu pasaporte que dice "WT" ("exención, turista"), eso no cambia el hecho de que legalmente eres ciudadano estadounidense, con derecho a trabajar y a permanecer indefinidamente en los Estados Unidos.