¿Qué opciones tiene un ciudadano extracomunitario que quiere prolongar su estancia en Suiza (por un periodo inferior a 90 días)?

¡Gracias por todas las respuestas! Sin embargo, para actualizar los detalles (que podrían ser particulares para Suiza, estoy actualizando el post).

Como menciona @dusky, me puse en contacto con la oficina local del cantón y me informaron que la prórroga se puede hacer siempre y cuando sea dentro de los 90 días con algunos trámites.

Necesitaban lo siguiente de mí (como anfitrión)

1. Hoja de salario de los últimos 3 meses
2. Declaración de impuestos
3. Certificado de Cantón de que no tengo antecedentes penales, etc. (cuesta unos 20 CHF)
4. Ampliación del seguro de viaje para los días adicionales

El visado que el funcionario local del cantón me dijo que una vez que los tuviera, modificaría el visado y no le llevaría más de media hora.

Sin embargo, debido a la falta de disponibilidad de los vuelos y a su elevado precio, mis padres decidieron no prorrogarlo.

Como explicó @dusky, el visado de tus padres no lo permite. Definitivamente tienen que conseguir otra cosa o arriesgarse a una fuerte multa y otros problemas al salir de la zona.

Existen algunas disposiciones para prorrogar los visados Schengen, pero sólo por motivos personales graves o fuerza mayor por lo que probablemente no sea una opción en su caso. También podrían obtener otro visado, pero los visados Schengen deben obtenerse en su país de residencia y no es posible solicitarlos desde dentro de la zona.

Formalmente, lo que podría ser posible es conseguir un visado de larga duración de Suiza. En la mayoría de los lugares, los visados de larga duración están destinados a personas que quieren establecerse en el país y, por tanto, son costosos y difíciles de obtener, pero algunos países los ofrecen para visitas o turismo. Por desgracia, no he podido encontrar nada parecido en Suiza. Puede intentar ponerse en contacto con la oficina local de migración, pero es una posibilidad remota.