¿Qué pasará si me paso del tiempo de la visa de turista o puedo extenderla en Nueva Delhi?

¿Puedo quedarme 1-2 semanas después de que expire mi visa?

No, no puedes:

Independientemente de la duración de la visa válida, la duración máxima de la estadía en India está limitada a 6 meses (180 días) en cada visita. No se otorga extensión de estadía en visas de turista y no se pueden convertir en ninguna otra visa.

(Fuente)

En ese caso, esté preparado para pagar el equivalente a US $30>

Se requiere una visa de salida para salir de India. Las autoridades investigarán la razón por la cual ocurrió la sobrestadía y luego impondrán una multa o penalización. La multa suele ser alrededor de US $30 o su equivalente en moneda india por una corta duración de sobrestadía si es condonada por las autoridades.

(Fuente)

¿Puedo extender mi visa turística india en mi propio país (Bangladesh)?

No, ya que cuando salgas de India debes esperar 90 días antes de volver a entrar:

Cualquier titular de una visa de turista que desee visitar otro país durante su estadía en India debe esperar al menos dos meses antes de volver a entrar. Este tiempo se tendrá en cuenta en la duración total de su visa (generalmente de 90 o 180 días).

(Fuente)

¿Puedo solicitar una nueva visa turística antes de que expire mi visa india actual?

Puedes solicitarla 60 días antes de que termine tu visa:

La recomendación es presentar la solicitud 60 días antes de la fecha de vencimiento de la visa actual. El solicitante puede renovar su visa ya sea en la oficina de registro o en el sitio web del Departamento de Inmigración.

(Fuente)

¿Hay alguna restricción para los ciudadanos bangladesíes que entran dos veces en dos meses?

Ver número 2.