Un visado de estudiante de más de 3 meses (que supongo que necesitarás para cursar un trimestre completo) no es un visado Schengen de corta duración, sino un visado nacional de larga duración. A veces se denominan "visados Schengen de tipo D", pero eso es un poco engañoso porque no se han unificado y no se expiden basándose en la normativa Schengen. En realidad, hay cientos de visados de tipo D diferentes, todos con normas ligeramente distintas.
No conozco las normas de la República Checa, pero es poco probable que puedas prorrogar un visado de estudiante si no tienes intención de continuar tus estudios en la República Checa. Por cierto, en otros países, los visados de estudiante suelen expirar en septiembre, no en junio, para dar a los estudiantes la oportunidad de permanecer en el país hasta el comienzo del siguiente curso, pero, de nuevo, no sé si ese es el caso en la República Checa, especialmente para un visado relativamente corto.
La cuestión es que prorrogar un visado sólo tiene sentido si la premisa de tu estancia no ha cambiado, si quieres hacer otra cosa, necesitas un nuevo visado. Como no tienes un visado Schengen, lo que tendrás que hacer si quieres visitar el espacio Schengen después de la expiración de tu visado de estudiante es, por tanto, una nueva solicitud de visado. Tiene que solicitar en el país en el que reside actualmente (y creo que debería poder solicitarlo en la República Checa durante su estancia allí) pero a el consulado del país que será su destino principal.
Si planeas trabajar como voluntario en algún lugar, entonces definitivamente aplica a ese país y a ningún otro. Pero no vayas allí a solicitarlo, hazlo desde donde estés, en un consulado, antes de entrar en el país. Lo que obtendrá si tiene éxito es simplemente un nuevo visado (de otro tipo), no una prórroga.
Por último, la solicitud de visado Schengen requiere diferentes documentos, infórmese ahora para poder llevar lo que necesita a la República Checa. A continuación, podrá presentar su solicitud desde la República Checa, aproximadamente tres meses antes de que finalice su visado checo/el comienzo de su estancia en el otro país.
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No veo que esto sea off-topic. Viajar para hacer turismo por estudios es obviamente on-topic y el voluntariado también lo es: "trabajar mientras se viaja (WWOOFing, viajes de voluntariado, etc.)" (del centro de ayuda)