En cuanto a los demás países de Schengen, Sí, cualquier visado D o permiso de residencia expedido por otro país Schengen autoriza al portador a viajar dentro del espacio Schengen, con sujeción a la norma 90/180, salvo que exista una anotación específica en sentido contrario.
Supongo que es posible que Italiano La ley impone una restricción de viaje que le obliga a permanecer dentro de Italia. Algunos países tienen restricciones similares en diversas circunstancias. Creo que esto es poco probable, pero no conozco la legislación italiana pertinente. En cualquier caso, esa pregunta es más adecuada para Expatriados ya que se trata de su relación con su país de residencia temporal.
En cuanto a los viajes a otros países del espacio Schengen, que es en el tema aquí, no tienes nada de qué preocuparte.