He viajado por el este de Turquía el verano pasado y también he entrado en Turquía desde Georgia.
En Batumi hay que tomar el minibús en la plaza de Tbilisi. ( https://goo.gl/maps/igPYhibW1xP2 )
Tienes que encontrar el autobús que va a Sarpi (la ciudad fronteriza). Te dejarán en la oficina de la frontera.
Pasar el control de la frontera.
Al otro lado, los taxis le llevarán a Hopa. La primera ciudad de Turquía desde la que puede comenzar su viaje en autobús por Turquía.
Pasé dos semanas viajando por el este de Turquía, terminando en Capadocia y desde donde tomé un último autobús a Estambul.
Puedes ver mis fotos de cada día de este viaje aquí: http://thdk.be/travel/eastern-turkey/
Espero que esta información le sea útil.