Estoy asumiendo que tienes visa de Schengen y también visa para entrar en Georgia. No creo que necesites visa de tránsito en el aeropuerto de Estambul, si solo estás haciendo transbordo.
Para responder a tu pregunta sobre si necesitas visa de tránsito en Estambul: http://www.mfa.gov.tr/frequently-asked-questions.en.mfa
En esa página dice lo siguiente:
Pregunta: Voy a volar a Europa. Sé que nuestro avión aterrizará en Estambul. No planeo salir de la sala de tránsito. ¿Necesito obtener visa de tránsito?
Respuesta: Si no vas a salir de la sala de tránsito en el aeropuerto, no se requiere que tengas visa de tránsito. De lo contrario, debes hacer una solicitud de visa en la Representación Turca más cercana. La información de contacto de dichas misiones se puede encontrar en www.mfa.gov.tr (Ministerio/Representaciones Turcas).
También, consulta esta página oficial: http://www.mfa.gov.tr/visa-information-for-foreigners.en.mfa
En esa página dice lo siguiente:
India: Los titulares de pasaportes diplomáticos están exentos de visa para viajar a Turquía por hasta 90 días. Los titulares de pasaportes ordinarios, especiales y de servicio deben tener visa para entrar en Turquía. Los titulares de pasaportes ordinarios, especiales y de servicio con visa válida de Schengen o de miembro de la OCDE o permiso de residencia pueden obtener su visa electrónica de entrada única válida por un mes a través del sitio web www.evisa.gov.tr, siempre que cumplan ciertas condiciones.
Si quieres entrar a Estambul, simplemente solicita la visa electrónica en línea para entrar a Estambul. Recuerda que solo recogerás el equipaje DESPUÉS del control de pasaportes.
También soy titular de pasaporte indio, he entrado varias veces al aeropuerto de Estambul y no he necesitado visa de tránsito para cambiar de avión a otro destino dentro de la terminal.