No. Las citas para visados de urgencia son para "necesidades médicas o humanitarias urgentes para viajar" (fuente: Embajada de Estados Unidos en el Reino Unido ). Su padre no tiene esa necesidad: no hay ninguna situación médica y si su pasantía en los EE.UU. crea algún tipo de problema humanitario, es un problema enteramente de su creación, por lo que la solución a ello es que no viaje a los EE.UU.. Se le denegaría una cita de urgencia.
Además, tu padre sólo debería volver a solicitarlo si ha solucionado los problemas que provocaron el rechazo de la primera solicitud. No pienses que solicitar de nuevo te da otra oportunidad de tener suerte: verán la primera denegación y lo primero que comprobarán es si siguen vigentes los mismos motivos de rechazo.
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Olvídalo. No hay nada de eso para su circunstancia.
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En un ahora borrado cerca de la copia de esta pregunta el OP declara: "He caído enfermo y me gustaría que mi padre me acompañara".
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Eso todavía no sería una emergencia,
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Supongo que estoy gravemente herido y con muchos huesos rotos, y la empresa se beneficiaría mucho de mi disponibilidad. En ese hipotético caso, ¿es ahora una emergencia que un familiar pueda acompañarme?
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¿Vas a soñar con escenarios hipotéticos cada vez más extremos hasta que alguien aquí diga "sí"? ¿Qué sentido tiene?