Perú está en la lista de países cuyos nacionales no necesitan visado para entrar en el espacio Schengen (incorporación relativamente reciente, después de la mayor parte de Sudamérica, si la memoria no me falla). En general, si puedes entrar en España sin visado, casi siempre puedes visitar otros países del espacio Schengen (incluida Italia).
Si tu padre viaja contigo de España a Italia, no debería haber ningún control policial y no esperaría ningún tipo de interrogatorio.
Si tu padre viaja directamente a Italia para reunirse contigo allí, presentar una carta de invitación de un residente español sería un poco extraño. En su lugar, debería limitarse a explicar los planes de vacaciones que tenéis y quizás tener alguna documentación relativa al alojamiento que habéis organizado (reserva de hotel, etc.)