Viajar con permiso de trabajo de residencia temporal

El Reino Unido ya no es miembro de la UE, por lo que hay que sacarlo de la ecuación. Para viajar a Irlanda, tienes que solicitar un visado, ya que se basa en tu ciudadanía. Ni Irlanda ni Chipre son miembros de Schengen, por lo que tienen control de fronteras. Una vez que estés en Irlanda, puedes solicitar un permiso del EEE basado en los "derechos derivados" siempre que puedas demostrar que el niño es "autosuficiente" económicamente y tiene seguro médico. Entonces podrá trabajar en Irlanda. No estoy seguro de cómo funciona en la práctica en el caso de un hijo menor de edad. Puedes obtener más información en la página web oficial de inmigración irlandesa:

https://www.citizensinformation.ie/en/moving_country/moving_to_ireland/rights_of_residence_in_ireland/residence_rights_eu_national.html