¿Pueden los taxistas insistir en esperar en el lugar en lugar de hacer dos viajes?

No tendrá que pagar más de 2 horas de espera por dos viajes de 20 minutos. A veces, cuando el tiempo de espera no supera el doble de la duración del trayecto, puede conseguir que el taxista le espere, pero normalmente es el pasajero quien pide la espera, no el conductor. Si el conductor quiere esperarte en lugar de ir a casa, es su decisión, pero no puede esperar que pagues por ello. (Es probable que tenga que pagar dos viajes de ida y vuelta por el taxi, si no hay otros pasajeros probables a los que quiera ir).

En la mayoría de los casos el conductor no sabrá cuándo quiere volver el pasajero, sólo cuando se acuerde previamente en horarios específicos el conductor o su oficina podrán saberlo.

La mayoría de los viajes en taxi, y estoy bastante seguro de que eso incluye al Reino Unido, se basan en un contador. El taxímetro combina la distancia y el tiempo necesario para el trayecto y lo suma (o multiplica) con una tarifa nocturna o algo parecido si se viaja cuando dicha tarifa está en orden.
Para dos paseos diurnos no espero que se cobre esa tasa, pero podría haber una tasa "fuera de la ciudad".

Si el trayecto se basa en una combinación de tiempo y distancia, el viaje de vuelta puede ser más o menos caro que el de ida, en cambio, si se basa únicamente en la distancia y no hay una tarifa extra fuera de la ciudad, el coste debería ser idéntico.

En algunos lugares (y de nuevo, no estoy seguro del Reino Unido) usted y el conductor pueden acordar un precio que es fijo, y en ese caso puede ser más o menos que el precio de un contador.

Si añades la ubicación a la pregunta es posible que alguien de aquí tenga conocimientos locales y pueda ayudarte con la mejor opción.
A veces se trata de un taxi reservado con antelación, que suele ser más barato que el que se consigue en una parada, o cuando se llama a la compañía que también está en la parada.

Para encontrar taxis para reservar con antelación puede buscar el nombre del lugar (o de la estación) y minicab, alquiler privado o taxi.