Desde el punto de vista legal, como ciudadano francés puede permanecer en Francia indefinidamente. Este derecho no depende de la posesión de un documento que demuestre que es usted francés.
Del mismo modo, puede permanecer en otros países de Schengen en virtud de las normas establecidas en la directiva de libre circulación de la UE. Para estancias de hasta tres meses de duración (en cada país), sólo tiene que presentar un documento de identidad o pasaporte válido. Ahora bien, la directiva de libre circulación no dice que este pasaporte deba ser expedido por un país de la UE, pero puede imaginarse que hacer valer sus derechos de libre circulación como ciudadano francés en (por ejemplo) Alemania mostrando un pasaporte estadounidense no va a llevarle muy lejos. Querrán alguna prueba de que el gobierno francés te reconoce como ciudadano francés.
Una vez que esté en el espacio Schengen, es muy poco probable que le pidan que demuestre que está allí legalmente, e incluso si le preguntan después de haber estado allí más de 90 días, hay muchas posibilidades de que pueda salirse con la suya mostrando su pasaporte estadounidense y hablando de las consecuencias negativas alegando la nacionalidad francesa. Pero es posible que no pueda, y es casi seguro que le retrasen y posiblemente le multen si intenta salir del espacio Schengen mostrando sólo un pasaporte estadounidense después de más de 90 días.
Contrariamente a lo que se afirma en otra respuesta, no es necesario "cambiar su registro de llegada" si entra con un pasaporte estadounidense y luego adquiere documentos franceses en Francia. Tu derecho de residencia en Francia y en el espacio Schengen no depende de haber entrado con un documento francés. Siempre que pueda demostrar que es francés, podrá beneficiarse de estos derechos.