Con dos entradas separadas:
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Si tiene equipaje facturado No hay duda de que tiene que pasar por el control de pasaportes para reclamar su equipaje y recuperarlo. En ese caso necesitas cualquier documento que se te exija para entrar en el país, aunque sea por unos minutos. En tu caso eso significa necesita un visado .
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Si hay alguna otra razón por la que tenga que ir a un mostrador de facturación (no hay facturación móvil/en línea, verificación de documentos...), se aplica lo mismo . A veces se pueden utilizar los mostradores de tránsito aéreo para este fin, pero esto depende mucho de la compañía aérea, del aeropuerto y de las circunstancias exactas.
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Si no tienes equipaje facturado, puedes facturar por internet o por móvil, y el aeropuerto lo permite (supongo que será el caso de BUD, pero no lo he comprobado, muchos aeropuertos no lo permiten), técnicamente una vez que llegue a BUD puedes hacer un "tránsito aéreo" y no pasar por inmigración, y en tu caso no necesitar un visado. Por eso el control fronterizo le dice que no necesita visado y que puede permanecer en la zona de operaciones: desde su punto de vista, es posible.
Pero como otros han señalado, la cuestión es probablemente no llegarás a BUD en primer lugar La primera aerolínea probablemente considera que su destino final es BUD, y querrán ver la documentación que le permite entrar en Hungría antes de dejarle embarcar . Hay una buena razón para ello: ¿qué ocurre si su primer vuelo se retrasa y pierde el siguiente? ¿Qué pasa si el siguiente vuelo se cancela o no te dejan embarcar? No quieren ocuparse de eso (tienen que hacerlo si te vendieron la conexión, pero no con billetes separados), así que simplemente dicen que no.
Se puede convencer a algunas compañías aéreas/agentes para que tengan en cuenta tu próximo vuelo y, por tanto, apliquen las normas de tránsito por BUD en lugar de las de entrada en Hungría, aunque el próximo vuelo tenga un billete separado/de otra compañía aérea. Pero a menos que se comprometan por escrito antes de tu vuelo (e incluso entonces), no puedes contar con ello.
En los comentarios dices que la aerolínea te ha dicho que no necesitas visado. Vuelve a comprobar con ellos que han entendido correctamente que el siguiente vuelo es con otra compañía aérea, con billete aparte. Si siguen confirmando que no necesitas visado, haz que te lo digan por escrito. Pero ten un plan de respaldo, llega temprano al aeropuerto y prepárate para un repentino cambio de opinión de la aerolínea (o, muy probablemente, de los agentes que hacen el trabajo por ellos).
Tenga también en cuenta que las autoconexiones (con billetes separados) conllevan un riesgo inherente: si no se presenta a tiempo para facturar o embarcar en el segundo vuelo, se considerará que no se ha presentado, su billete será probablemente cancelado (posiblemente con más vuelos en el mismo billete, como un vuelo de vuelta), y tendrá que volver a reservar y pagar un nuevo vuelo, con tarifas de última hora (normalmente mucho más caras). Tenga mucho margen entre los vuelos para prever cualquier retraso o cancelación, y cuente con un buen seguro de viaje (y lea las condiciones de la póliza de seguro).
Si el segundo vuelo es barato (incluso en el último momento), en una ruta con muchas alternativas, probablemente pueda correr el riesgo. Si el segundo vuelo es un vuelo caro con un solo vuelo al día en esa ruta (o menos), el riesgo es mucho mayor.
El otro riesgo es si el segundo vuelo se cancela o se le deniega el embarque. Esto puede ponerse rápidamente feo.
Las autoconexiones son arriesgadas. Las autoconexiones con un tránsito por un país en el que no se tiene derecho a entrar son muy, muy, muy arriesgadas (si es que es posible).