El hecho de que tengas varios pasaportes no cambia el hecho de que seas la misma persona, por lo que la respuesta será la misma que si hicieras un visado y volvieras con el mismo pasaporte.
Y la norma es clara, en el régimen de exención de visado, se permite 90 días por visita, 90 días dentro de un periodo de 180 días. Así que después de permanecer 90 días, tienes que permanecer fuera de Turquía durante 90 días antes de volver, o solicitar otro tipo de visado que te permita permanecer más tiempo.
Tenga en cuenta que la norma dice "90 días", no "3 meses". Así que, por ejemplo, si llegaste el 25 de agosto, puedes quedarte hasta el 22 de noviembre, no hasta el 24 de noviembre.
Tenga en cuenta también que si ha permanecido en Turquía en cualquier momento en los 90 días anteriores al inicio de su estancia actual, es posible que ya esté sobrepasando su estancia.
Editar
PD: la página del gobierno turco aquí enumera los 90 en 180 días como máximo para muchos países, pero no para Italia (y algunos otros países de la UE, pero definitivamente no todos). No estoy seguro de si se trata de un error o de si realmente hay una diferencia (puede haber algún acuerdo bilateral que sustituya la norma habitual).
Por otro lado, esta página dice:
La duración de la estancia proporcionada por el visado o la exención de visado no puede superar los 90 días dentro de cada 180 días. La regulación de 90 días de estancia dentro de los últimos 180 días es obligatoria para todos los extranjeros que viajen a Türkiye
Sin embargo, incluso cuando no hay normas explícitas al respecto, suele haber normas menos explícitas como "se supone que eres un visitante temporal y no intentas vivir en el país durante largos periodos de tiempo mediante visitas repetidas o sucesivas", por lo que en lugar de tener un claro "no se te permite hacer eso" puedes acabar en un mucho más turbio "depende del funcionario del bordel".
Los viajes con visado solían ser la norma para muchas personas en muchos países, pero en la mayoría de ellos esto se ha reducido mucho.