La persona que viaja es siempre responsable de tener la documentación correcta, la compañía aérea no lo es, ni tampoco los funcionarios de inmigración.
Los funcionarios encargados de los pasaportes en el país de destino lo comprobarán y normalmente insistirán en la necesidad de un visado u otra prueba de que se permite la entrada, como la tarjeta OCI, aunque en la mayoría de los casos la aerolínea impedirá que el pasajero suba al vuelo.
Las aerolíneas suelen cobrar una multa por permitir que se acerquen a inmigración personas que no reúnen los requisitos para entrar y tienen que transportar a esas personas de vuelta o de otro modo, lo que intentarán que pague el pasajero.
Como se ha señalado en los comentarios, en algunos países es necesario tener un visado de salida y será la compañía aérea y/o los guardias fronterizos quienes comprueben que lo tienes, pero sigue siendo responsabilidad de la persona que viaja.