No, legalmente necesita un documento de viaje expedido por el gobierno, es decir, un pasaporte o documento de identidad europeo (que usted, al ser ciudadano estadounidense y no alemán, probablemente no pueda obtener).
Es un requisito legal para cruzar una frontera internacional, incluso en el espacio Schengen (aunque rara vez haya controles, sobre todo en los pasos terrestres).
Ahora bien, en la práctica PUEDE que te salgas con la tuya, dependiendo de lo estrictos que sean los empleados de los mostradores de facturación y los agentes de las puertas de embarque, pero en mi experiencia siempre exigen el pasaporte o el documento de identidad europeo incluso para viajar dentro del espacio Schengen.
Un permiso de conducir válido PUEDE bastar, nunca lo he intentado, pero el permiso de residencia es un complemento del pasaporte y no es suficiente por sí solo. No obstante, te dará derecho a cruzar la frontera sin visado, así que llévalo contigo.
En tu situación, si realmente no puedes recuperar tu pasaporte a tiempo, es mejor tomar un tren hasta una ciudad cercana a la frontera austriaca y coger un coche de alquiler desde allí, o un taxi.