Documento de viaje azul de 1951 expedido por el Reino Unido - ¿Puede viajar por Schengen sin visado si entra en un país sin visado?

Si volamos a Italia y luego vamos en tren o en avión a otros países Schengen, ¿le permitirán entrar?

¿Podemos salir en avión de un país Schengen como España siempre que entremos por un país como Italia?

NO En absoluto.

Si no tiene el permiso necesario para entrar en un país, entrar en ese país es ilegal, incluso a través de Schengen, que simplemente suprime los controles fronterizos, y no la validez de la legislación nacional de los distintos Estados miembros.

Italia le pondrá un sello a la entrada, ¿se considera un visado Schengen válido para mostrar si estamos en otros países Schengen?

Un sello de entrada es sólo un registro de su entrada, esto es no un visado y no le da más acceso del que ya tiene legalmente. Aunque así fuera, un guardia fronterizo italiano nunca podría expedirte un visado francés/español.

Pero eres libre de ir a cualquier país en el que puedas entrar sin visado (siempre que no entres en ningún país en el que no tengas permiso para entrar, ni siquiera para transitar).