¿Algún consejo para viajar con el presupuesto de un alquiler mensual en Londres?

Tener pasaporte comunitario le ayudará a no necesitar permiso de trabajo en la UE. Pero en muchos países de la UE necesitarás un seguro médico si vives allí y es probable que el seguro de viaje no te sirva.
Quizá puedas asegurarte en el Reino Unido para tener cobertura médica en el extranjero.

Los países situados más al este de la UE suelen tener un coste de la vida más bajo, pero la vivienda no suele ser barata. Además, el inglés no se habla con tanta frecuencia, lo que dificulta la comunicación diaria con la población local. En cambio, en Escandinavia y el Benelux el inglés es muy común y la mayoría de la gente entiende lo básico y muchos lo hablan con fluidez. Pero el coste de la vida en un alojamiento de vacaciones se acercará más al del alquiler en Londres.

Acabo de ver un programa de televisión en el que entrevistaban a personas que viven en Suecia y hacen uso del derecho a pernoctar en casi cualquier sitio durante una o dos noches. Con trabajos esporádicos podían vivir bien, siempre que no tuvieran que gastar en un lugar donde alojarse.

Encontrará opciones más baratas si puede alojarse fuera de la temporada o temporadas de vacaciones locales. Lo que implicará hacer los deberes.

Otra cosa que hay que tener en cuenta es que, incluso como ciudadano de la UE, es posible que tengas que empadronarte si vas a estar en un país durante tres meses. Y si te quedas más tiempo en un país o vuelves en el plazo de un año, puede que tengas que pagar impuestos en ese país.

Quedarse en el Reino Unido será probablemente más fácil, ya que seguirá estando bajo su seguro médico actual y las normas fiscales, conoce el idioma aunque los dialectos y acentos locales pueden hacerlo más difícil.
Las diferencias de precios no son tan grandes como con el este rural de Europa, pero siguen siendo mucho mejores que las de Londres.

Puede que haya más problemas que yo desconozca, así que investiga más y no te guíes por lo que yo diga.