Si se va a trasladar permanentemente en lugar de estar de visita, tendrá que poder demostrar la nacionalidad británica de su hijo. Está claro que la forma más fácil de hacerlo es conseguirle un pasaporte británico. Tener un pasaporte británico le facilitará los viajes por Europa, y probablemente merezca la pena obtenerlo de todos modos. Le recomiendo encarecidamente que lo obtenga antes de mudarse. Un pasaporte neozelandés no conceden por sí solas la posibilidad de trasladarse al Reino Unido de forma permanente, por lo que no pueden utilizarse para entrar en esas circunstancias. Tendrías que poder demostrar la nacionalidad de tu hijo.
No está garantizado que los hijos de ciudadanos británicos sean siempre ciudadanos ellos mismos (aunque es muy probable), y las autoridades tendrán que comprobarlo. Algo como un certificado de nacimiento no garantizará que su hijo sea admitido en el Reino Unido. Tendrá que demostrar su ciudadanía, y un certificado de nacimiento con los pasaportes de los padres no bastan por sí solos para hacerlo.