La facilidad para desenvolverse en Europa depende mucho del país. A grandes rasgos, creo que en Europa Occidental y Septentrional se habla muy bien inglés, mientras que en Europa Oriental (por ejemplo, los antiguos países soviéticos) no. Lo que sigue se basa en mi experiencia en varios países:
Países Bajos, Dinamarca y Suecia: casi todo el mundo habla un inglés casi perfecto, no hay absolutamente ningún problema para llevar a cabo sus negocios en inglés. En Copenhague, la gente se ofende (levemente) si les preguntas si hablan inglés. Así que abre en inglés y, si te hablan en danés, discúlpate y di que sólo hablas inglés. Sin embargo, aunque todo el mundo habla inglés, los carteles, menús y atracciones (museos, etc.) suelen estar en la lengua local fuera de los lugares turísticos.
Alemania, Suiza y Austria: depende mucho de dónde te encuentres. En Hamburgo, Viena, Colonia, Zúrich o Berlín no tendrás problemas para hablar inglés; sin embargo, si te adentras en localidades más rurales, es mucho más probable que te encuentres con empleados de tiendas, hoteles, camareros, etc. que no entiendan inglés o se sientan incómodos hablándolo contigo.
Francia: mucho más acogedora para los ingleses que antes, y la famosa hostilidad de los franceses hacia los angloparlantes parece haber disminuido. He notado una gran diferencia sobre todo en las estaciones de esquí. Aun así, incluso en los lugares turísticos de París encontrarás gente que no interactuará contigo en inglés. Sin embargo, si sabes un puñado de palabras en francés y eres simpático, normalmente te las apañarás bien.
Chequia, Hungría, Croacia, Eslovenia, Eslovaquia: fuera de las ciudades más grandes y de los lugares más turísticos (por ejemplo, en Praga no tendrás problemas), los lugares donde se habla inglés son poco frecuentes. Sin embargo, comprobamos que casi todos los turistas hablaban suficiente alemán para desenvolverse.
No he pasado suficiente tiempo en Luxemburgo o Bélgica para formarme una opinión, ya que sólo he parado a comer o repostar allí, pero la gente con la que nos cruzamos hablaba inglés, así que creo que probablemente esté bien.
Invito a otros a editar para añadir países que no he cubierto (ya que no tengo experiencia de ellos) aquí
El sur de Europa (España, Portugal, Italia) es más o menos. En las grandes ciudades te las puedes apañar, pero en los pueblos y ciudades más pequeñas, incluso con la gente más joven, la cosa cambia. (Copiado de un comentario de @hilmar)